乘法数学教学设计

此篇文章乘法数学教学设计（精选6篇），由智远网整理，希望能够帮助得到大家。

乘法数学教学设计 篇1

教学内容：课本第18页，例1

教材分析：

教材从学生的生活经验和知识基础出发,通过动手操作，让学生经历探索求商的方法，教材选取的被除数不超过12，便于学生在数据较小的情况下，通过操作和推理探索求商的方法。

学情分析：

学生已经有了连加、连减和乘法做基础,有了对除法的认识做铺垫和平均分实物的实践经验,因此,在教学是着重让学生经历探究的过程,使学生自主探究找出求商的方法。

教学目标：

1、 探索求商的过程,理解求出除法算式的商的多种方法。

2、 了解用乘法口诀想商的思路,初步掌握用乘法口诀求商的方法。

3、 体会乘法与除法之间的联系,感受用乘法口诀求商的简便,体验探究的乐趣。

教学重点：

理解用乘法口诀求商的道理，掌握用乘法口诀求商的方法。

教学难点：

理解用乘法口诀求商的道理。

教学准备：

课件、小棒20根。

教学过程：

一、复习导入，巩固旧知

1、背诵乘法口诀

2、先填空，再说说你用的'哪句口诀?（“开火车”游戏）

2×（ ）=4 3×（ ）=6

4×（ ）=8 （ ）×3 =12

（ ）×4 =20 5×（ ）=15

二、创设情景,探究新知

（一）故事引入，生成问题

师:同学们真棒,不但乘法口诀背的好,还能准确的利用口诀解决问题,老师要奖励一下大家,给大家讲个故事。

(课件出示:孙悟空大闹天宫回到花果山,带回了一些鲜美的桃子。)

师:回到花果山以后小猴子们看到桃子都想吃。孙悟空想:“糟了,桃子不够分,怎么办?”它灵机一动说:“我考大家一个问题,谁回答对了,就把桃子奖励给它吃吧!

出示问题：“有12个桃子,如果每只小猴分3个,可以分给几只小猴？”

（二）呈现问题、分析题意

师:从题中你知道了哪些重要的数学信息？要解决的问题是什么？

预设1:总共有12个桃子,每只小猴分3个,问题是要求可以分给几只小猴。

预设2:12是总数，3表示每份数，求份数！

(三）探究交流，解决问题

1、动手操作,建立表象

师:同学们说得很棒!那到底可以分给几只小猴呢?你也来当一回猴王，用你手中的小棒来分一分吧?

（课件出示）活动要求：

1、分：请利用手中的小棒分一分；

2、写：根据分的过程，列出算式，写下来；

3、说：和你的同桌互相说一说，解决问题的方法。

（学生操作，教师巡视）

师：同学们的动手操作能力真强，我要请一位座得最端正的小朋友来上面摆一摆！请大家仔细观察，他是怎么分桃子的？

（学生1，现场操作）

师：你们同意吗？咱们给他掌声鼓励鼓励吧！

2、小组合作，交流算法

师：刚才我看到两个同学，摆的特别快，说得也很清楚，我们来听听他们是如何分的？

预设1：采用不断连减的方法。

第一只小猴分3个,12-3=9，剩余9个; 第二只小猴分3个,9-3=6，剩余6个;第三只小猴分3个,6-3=3，剩余3个; 剩余3个分给第4只小猴,3-3=0 正好分完。

（12-3-3-3-3=0，一共拿了4次，可以分给4只小猴）

预设2：采用不断连加的方法。

1只猴分了3个,2只猴就分了6个,3只猴又加3个就分了9个, 4只猴再

加3个就分掉了12个,所以可以分给4只猴子。

师：还有其他不同的方法吗？

预设3：用乘法口诀来算。

12÷3=4

三（四）十二，商是4。相当于12里面有4个3，所以能分给4只小猴。

（四）优化算法，点名课题

师：看来咱们班的猴王可真不少啊！大家分的都非常棒，我们来总结一下，这3位同学虽然列的算式不同，但是都从中找到了4，都能解决这个问题。如果你是猴王，你会喜欢哪一种那？为什么？和你的同桌互相说一说吧！

预设：直接用乘法口诀计算，因为这样算起来很快、很方便。

这就是我们今天学习的“用2——6的乘法口诀求商”(板书)

三、巩固练习

1、你能用乘法口诀求商吗？

（1）16÷4＝ 想：因为四（ ）十六， 所以商是（ ）。

（2）30÷5= 想：因为五（ ）三十， 所以商是（ ）。

（3）30÷6= 想：因为（ ）六三十， 所以商是（ ）。

2、用自己喜欢的方法计算：（课本18页，做一做）

12÷6= 6÷2= 12÷4=

8÷2= 9÷3= 10÷5=

（学生独立完成，教师巡视）

3、（课件出示）课本20页，第1题：

6÷3=？ 怎样想？

注意：计算后，鼓励学生和同桌互相说一说，你是怎样算出商的？

4、课本20页，第2题

有（ ）棵黄瓜苗，（ ）个花盆。平均每盆种几棵？

（ ）÷( )=( )

5、拓展提升：从这两道题的计算中你能发现什么？

12÷3= 12÷4=

6、拓展提升：根据算式12÷4=3 讲一个小故事。

四、课堂小结

同学们，通过今天的学习，你学会了什么？又有哪些新的收获那？

（学生汇报）

预设学生1：我学会了用多种方法来求商。

预设学生2：我喜欢直接用乘法口诀来求商，计算很快，也很方便。

五、课堂作业：

1、练习四的第3题。

2、练习四的第4题。

6÷6= 2÷1=

5÷5= 3÷1=

4÷4= 6÷1=

师：你能写出几道像上面这样的算式吗？

六、板书设计：

用2-6的乘法口诀求商

方法一：不断连减。

12-3-3-3-3=0

方法二：不断连加。

3+3+3+3+3=12

方法三：用乘法口诀求商（最优）

12÷3=4

三（四）十二，商是4。

乘法数学教学设计 篇2

教学过程：

一、复习

上学期我们学习了乘法口诀，我们先来复习一下有关乘法口诀的知识。

1．说出得数，并说出用哪句口诀。

6×2= 4×3= 2×5= 3×3=

2．填空。

2×（ ）=4 3×（ ）=6 4×（ ）＝8

（ ）×3=12 （ ）×4=20 5×（ ）=15

说一说（ ）里的数是用哪句乘法口诀想出来的。

二 、导入：前两节课我们对除法有了初步认识，那么我们在解决哪两种类型问题可以用到除法？

那你能根据刚才我们总结的方法解决下面两个问题吗？（课件）

过渡：这两名同学不但能解决问题，还能说出商，那么他们是用什么方法求出商的呢？我们今天就来解决除法求商的问题。（板书课题）

三、新课

1．引出除法算式12÷3。

课件呈现例1放大图：猴妈妈从果园里摘回了12个桃子，它想给每只小猴分3个，猴妈妈这时想到了一个问题，谁能猜一猜猴妈妈想到了一个什么问题？

生提出第（1）个问题：12个桃，每只小猴分3个，可以分给几只小猴？同学们很善于思考想到猴妈妈的问题，那谁能解决这个问题呢？ 请学生列出除法算式：12÷3。

2．探讨计算方法。

（1）引导：他不但列出算式还说出结果，那他是用什么方法算出商的呢？我们动手来用手中的学具分一分，看看他算得的商是否正确。汇报是怎样分的'。

我们会用动手分一分的方法解决了问题。如果不动手操作学具，我们怎样算出结果呢？

生：可以用乘法口诀想商，想3和几相乘得12，因为三四十二，所以商是4。

这三种求商的方法中，你喜欢哪一种法方法？下面就让我们用这种求商的方法解决以下的问题。

3．尝试用乘法口诀求商。

（1）出示例1的第（2）个问题。

（2）与你的同桌交流怎样解决问题，说一说想商的过程和使用了哪句口诀。

（3）汇报：求12÷4的商，想4和几相乘得12，因为三四十二，所以商是3。

过渡：刚才我们在解决问题中找到了求商最快的方法就是用乘法口诀求商，下面我们就用这种求商的方法去解决问题。

三、练习

1．练习五的第1题。你能说一说这道题的意思吗？

说说商几？你是怎样想的？我们求出商是2，如果是你来分气球，你觉得怎样分比较合适？

2．练习五的第2题。

（1）你能说说从画面获得哪些信息？根据这些信息你能提出什么数学问题？

你能独立填写除法算式吗？并说一说用哪句口诀想商。

3．练习五的第3题。

师：接着我们来玩一个邮递员送信的游戏，根据图你能说说该如何玩这个游戏吗？

生：说明要求：认真计算，商是几，就投进几号信箱。

师：那我们看看哪个邮递员能出色的完成任务。

最后，特别请学生观察哪几封信送进了1号信箱。并想一想，这些除法算式有什么特点。促使学生发现：被除数和除数相同，商是1。

四、总结教师总结：今天我们共同探讨了除法的计算方法。我们发现，可以用乘法口诀来求商。计算时，看除数和几相乘得被除数，就用那句口诀求商。我们还发现，被除数和除数相同时，商是1。

老师希望同学们能将今天学到的知识带进我们的生活。

乘法数学教学设计 篇3

教学内容：乘法的初步认识

教学目标：

1、认知目标：结合具体情境，初步体会乘法的意义，使学生认识相同加数的加法可以用乘法计算，认识乘号，会读、写乘法算式。

2、能力目标：初步培养学生抽象概括能力，初步学会从数学的角度提出问题、解决问题。

3、情感目标：通过《乘法的初步认识》的学习，使学生感受到数学和生活的密切联系。

教学重点：认识相同加数的加法可以用乘法计算

教学难点：乘法意义的理解

教学准备：学生：小棒教师：课件

教学过程：

一、创设情境，提出问题

大家去过游乐园吗？今天老师就带你们去游乐园看一看，请看大屏幕。（课件出示主题图）

看游乐园多热闹呀，认真仔细观察，你看到了什么？

你能根据看到的`情景提出数学问题吗？

坐摩天轮的一共有多少人？坐过山车的一共多少人？

算式该怎么写？根据学生回答板书：

4+4+4+4+4=20（人）5个4

2+2+2+2+2+2=12（人）6个2

为什么要这样算？

（引导学生说出5个4、6个2）教师板书5个4、6个2

其他同学你们还知道什么？

游乐园里快乐多，智慧也多，就让我们一起跟“小精灵”去亲自感受一下吧。

二、自主探索，解决问题

1、初步感知乘法。

（课件出示小朋友摆的图形）

谁能说说每个小朋友摆出了什么图形？你能像他们一样摆出你自己喜欢的图形来吗？就让我们一起来试试。

生摆图形

哪位小朋友有勇气第一个告诉我们，你摆的是什么图形，一共用了多少根小棒？

你是怎么算出来的？

大家开动脑筋不仅摆出了自己喜欢的图形，而且还计算出一共用了多少根小棒，真了不起！下面，我们就一起来看黑板上这些算式！（4＋4＋4＋4＝165＋3＝86＋6＋6＋6＋6＋6＝3610＋4＝14......）

2、（1）分类。

仔细观察，默默地读一读，你发现了什么？

一类是加数不相同的，另一类是加数都相同的。是都相同吗？

（引导学生再次观察黑板左边的算式，感知每个算式中的相同加数）

（2）体验。

你能照样子再编几个这样的算式吗？

生回答

如果有20个2相加呢？你能说出加法算式吗？

用加法法算式表示太麻烦了。你有简捷的算法吗？

学生小组交流。

班内汇报

师小结

3、抽象概括乘法。

像这样2+2+2+2......+2加法还可以用一种新的运算方法--乘法表示。板书：乘法的初步认识

如6个3相加，可以在相同加数3和相同加数个数6中间写上乘号3×6，“×”叫乘号，读作“乘”。（齐读两遍）

乘号像什么？

乘法是加法改写的，所以“+”一歪就变乘号

4、教学乘法的读写。

像3+3+3+3+3+3=18用乘法表示3×6=18读作3乘6等于18或6×3=18读作6乘3等于18。

黑板上另外两道加法算式你能改写成乘法算式吗？相信你一定会。

学生独立写乘法算式，写后读两遍。

三、巩固应用，内化提高

1、师：再回到游乐园，你能提出什么问题，并能列出乘法算式。

生.....2、给小动物找朋友（读算式、说意义。）

4+4+44个8相加

8+8+8+83个4相加

3、独立完成P47“做一做”，练习九第3题。（做后说一说）

4、爬梯比赛。

比赛规则：以组为单位，每人做一道，看哪个组在规定时间内爬得最高。

3＋3＋3＋2

4＋4

5＋5＋5

1＋1＋1＋1＋1

2＋2＋2＋2

3＋3

5、在我们生活中你见过哪些用乘法计算的问题？试着给同学们说一说。

四，回顾整理，反思提升

这节课你有什么收获？和同学说一说

乘法数学教学设计 篇4

【教学内容】

人教版实验教材二年级上册第六单元教科书第72页7的乘法口诀。

【教材分析】

本节课的内容是在2～6的乘法口诀学习的基础上进行学习的。乘法口诀是学习数学最基础的知识之一，对今后的计算具有重要作用。本节课重点是理解每一句口诀的意义，明白乘法口诀的来源。口决在数量上和数目上有所增大，记忆难度增加，解决问题，分析数量之间的关系也比较困难。教学中需要尊重学生的基础和经验，在把握教材特点的基础上，灵活地使用，合理的挖掘教学资源，才能凸显课堂实效性，彰显课堂精彩和活力。

【教学目标】

1、使学生经历对7的乘法口诀的验证过程，加深学生对口诀的记忆和理解。

2、在学生已有的知识背景和对7的乘法口诀记忆较为熟练的基础上培养学生对新知的质疑、探究、验证、类推以及应用的.能力。培养学生不断进取的探索精神和合作交流的意识。

3、学生能应用所学知识解决一些简单的数学问题，培养他们用数学的情感和态度，增强他们学习数学的兴趣。

【教学重点、难点】

1、对7的乘法口诀验证方法的探究。

2、计算和应用。

【课前准备】预习7的乘法口诀

【教学过程】

一、复习

口算练习：1~6的乘法

二、新授

1、通过预习你知道7的乘法口诀有几句？是哪几句？

2、那你知道这些口诀表示什么意思？

谁能用这些图片，边摆边说？

发现：口诀的前2个字表示几个几，后面表示它们是多少？

3、观察口诀，你还发现了什么？

引导学生发现：后一句口诀总比前面的一句多7.

可以应用这样的规律帮助大家记忆7的乘法口诀。

4、记忆7的乘法口诀

师生对口令、生生同位对口令

5、应用口诀

（1）转转盘，转到7乘几，口算并说出相应的乘法口诀。

（2）大家一起做。数学书P73的第2、3题，独立完成，集体订正。

（3）括号应填几：

（ ）×7=28 7×( )=7 7×( )=49 ……

（4）看图列式

（5）解决问题

①每人每天需要喝6杯水，一星期需要几杯水？

②每天有7节课，一星期一共上多少节课？

③同学们做队列表演，排成6行，每行7人，共有多少人参加表演？其中男同学有24人，女同学有多少人？

……

（6）趣味练习：

（7）数学游戏：乘法扑克

乘法数学教学设计 篇5

教学目标:

1、通过探索乘法分配律中的活动，学生进一步体验探索规律的过程，初步学习体会提出猜想的方法及类比，说理，举例论证的方式，发展学生的思维力，创造力。

2、引导学生在探索的过程中，自主发现乘法分配律，并能用字母表示。

3、能够运用乘法的分配律进行简便计算。

重点、难点:

重点：学生参与推导乘法分配律的过程。

难点：乘法分配律的推理及运用。

教学过程：

一、回顾激趣，提出猜想.

（1）同学们，学习新课前，我们先来回顾学过的运算定律。找出共同点？和或积同。

乘法交换律的字母公式（ ）。 乘法结合律的字母公式（ ）…….

（设计意图：四个公式板书在黑板，以便与乘法分配律对比）

（2）利用学过的长方形周长内容得出两种不同解题方法。刚才的计算中你发现这两道题有什么关系吗？2×（ 37+63） 2×37 + 2×63

教师让学生比较两个算式的异同点，并指名说一说自己找出的规律。

引导学生发现：这两个算式的运算顺序不同，但结果相同，两道题其实可以互相转化，可以用一个等式表示：2×（ 37+63） =2×37 + 2×63

（3）将学生的知识迁移到本节课新授内容，在课的开始，积极调动学生学习积极性。

二、引导探究，发现规律。

1、（我们下面就一起来验证一下这位同学的猜想在其它的题里也是否成立？请看大屏幕。）

我班同学男生27人，女生25人，每人植树3棵，共植树？棵（植树节3.12）

（1）全班同学独立完成。

（2）谁愿意把自己的方法说给大家听听。（生回答，师板书）

还有不一样的方法吗？谁来说说看？（生回答，师板书）

板书：（27＋25）×3 27×3＋25×3

评讲：算式（27＋25）×3 和27×3＋25×3的每一步各表示什么？谁能说给大家听听？

（3）观察这两个算式，你有什么发现？

引导学生比较两个算式异同点，并指名学生说一说自己想法，思路。

生：这两个算式的得数是一样的。

师：是的，虽然他们的格式不同，但他们的得数相同，所以我们可以用一个符号把这两个算式联系起来。

生：等于号

师：对，用等于号相连，表示这两个式子是相等的，一起读一读，认识这两种方法的结果是一样的，师：再和前面的一组式子一起观察，

（让学生通过读，感悟到左边是两个数的和乘一个数，右边的两个数的积加上两个数的积）

2、举例验证，进一步感受

认真观察屏幕上的这个等式，你还能举出几个类似的例子来验证吗？（板书：举例）

（1）验证方法：要求每人出两组算式，数字随意举例，进行计算，验证你举的例子是否相等。然后拿到小组内交流（学生小组合作交流，教师巡视指导。）

（2）学生回报：谁来说一说自己举的例子。

（3）同学们，请看一看这三个同学举的例子，每组的结果都是相同的，我们就可以用等号把它们连接起来。（板书）

（4）轻声读这些等式，你发现了什么？

（设计意图：通过多个例子，揭示乘法分配律的普遍规律）

3、归纳总结，概括规律。

（1）现在谁能说一说这些等式有什么共同特点？（板书：总结）（运算顺序不同但结果相同）

（2）从刚才的举例过程中，你能发现乘法运算中的.规律吗？

学生回报。

（出示：两个数的和与一个数相乘，可以用两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。这叫做乘法的分配律。）

同学们发现的这个知识规律，叫做乘法分配律。 （板书：乘法分配律）

（3）如果用a、b、c分别表示三个数，你会用字母表示乘法分配律吗？

结合学生回答，教师板书：（a＋b）×c=a×c＋b×c 齐声读两遍。

（4）对于乘法分配律，用字母来表示，感觉怎样。

与乘法交换律、结合律想对照：a×b=b×a （a×b）×c=a×（b×c）

（a＋b）×c=a×c＋b×c 比较有什么不同？

（设计意图：增强学生对乘法分配律涉及到加法的运算难点的理解）

三、加强应用、深化理解

1、根据运算定律，在（ ）填上适当的数。

(10＋7) ×6=（ ）×6＋7×（ ）8×（125＋9）=（ ）×125＋（ ）×9

7×48＋7×52=（ ）×（48＋52） （7×48＋7×52中有相同因数吗？）

（设计意图：通过具体的练习理解乘法分配律）

2、火眼金睛看一看：判断下面算式是否正确？并说明理由？

56×（19+28）= 56×19+28 ( )

32×（7×3）= 32×7+32×3 ( )

25×12+12×75 = 12×（25+75） ( )

25×99+25 =（99+1）×25 ( )

3、利用乘法分配律，计算下列各题。

( 80 + 4 ) ×25 34 ×72 + 34 ×28 88×125试做

师小结：通过前两道题的计算，我们可以看出，乘法分配律是互逆的。为了使计算简便，我们既可以从左边算式得到右边算式，又可以从右边算式得到左边算式。但遇到实际计算时，要因题而异。

4、34×10＋27×10＋39×10可不可以用乘法分配律

师：说明乘法分配律，不仅仅只适用于两个数的和，也可以三个数的和，四个数的和可以吗？说明也可以是：几个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。（修改乘法分配律的板书）

5、找朋友

师：如果一个同学说出乘法分配律的左边部分，那你就说出它的右边部分，如果他说出的是右边部分，你就对出左边部分。看谁反应快。

6、24×8—4×8=（24—4）×8吗？

师：说明乘法分配律，不仅仅只适用于两个数的和，也可以是两个数的差，三个数的差可以吗？说明也可以是：几个数的和(或差)与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加（或相减）。（设计意图：拓展书本上乘法分配律的概念）

7、用简便方法计算下列各题。（8＋4）×25 34×72＋34×28

（设计意图：概念只有在具体的练习中才能逐步理解，概念教学必须当堂采用讲练相结合的方法，学生才能消化抽象的概念）

四、总结：

1，这节课你的收获是什么？什么叫做乘法分配律？（设计意图：不能让总结性提问只是走了过场，通过这个环节切实起到梳理知识，提高学生总结能力）

2、如果把乘法分配律中的加法改成减号，等式是否依然成立？根据乘法分配律，你能把下列等式填写完整吗？同学们课后交流一下，下节数学课我们再继续研究。

教师激发学生好胜心：在乘法分配律中有许多变化，题里辨别出用乘法分配律简算的题呢？36×99＋36 73×31+28×31—31

3.思考：填写完整：

a×（m-n）= a×125+b×125-c×125

乘法数学教学设计 篇6

教学重点

使学生理解求相同加数和的应用题的结构和数量关系．

教学难点

使学生真正掌握此类应用题的结构．

教学过程

复习导入

1．口算．

2×3＝ 2×5＝ 4×2＝ 5×1＝

5×3＝ 4×3＝ 5×5＝ 1×4＝

2．列式计算．

（1）3个4相加是多少？

（2）5个2相加是多少？

3．师：大家已经学习了1～5的乘法口诀，学会了计算相应的式子题和文字叙述题．今天，我们要一起来研究一些生活中的问题，看谁能够应用前面所学的知识来解决这些问题．

4．教师板书课题：应用题

新授

1．出示例8（教师板书）

同学们浇树，每个人浇4棵，3个人一共浇多少棵？

2．分析解答例8

（1）读题，找出题目中的已知条件、要求的问题各是什么？用小圆片摆一摆，表示出题目中的'意思．

学生可以答出：每个人浇4棵，有了3个人，要求一共浇了多少棵．（一个学生说，另一个学生在黑板上板贴小圆片．）

（2）师：看图思考，要求一共浇了多少棵树应该怎么想？（学生回答：每个人浇4棵，也就是1个4棵，有3个人浇树，就是浇了3个4棵．要求一共浇了多少棵，也就是求3个4是多少．）

（3）问：要求3个4棵是多少，应该用什么方法解答？该怎样列式？说一说为什么要这样列式？

学生边回答教师边板书：4×3=12（棵）

口答：一共浇了12棵．

3．进一步理解例8算式的意义．

师问：谁来说一说，算式中的每个数分别表示什么意思？

（算式中的4表示每个人浇了4棵树，也就是一份是4，算式中的3表示有3个人再浇树，也就是有相同的3份，算式中的12表示3个人一共浇了12棵树，也就是3个4是12．）

4．讲解例9

（1）出示例9（教师板书例9）

小明买了3个扣子，每个5角钱，一共用了多少钱？

（2）师：读题，已知条件是什么？要求的问题是什么？

教师根据学生的叙述板贴：

（3）师：看图思考，要求一共多少分应该怎样想？用什么方法解答？怎样列式？说说为什么？ （分小组讨论）

（4）汇报解答方法．（小组同伴分工完成下面的任务：一人负责口头列式，一人负责板书列式，一人负责说为什么这样列式．）

（5）再次说明列式中每个数表示的意义．（算式里的5表示每个扣子5角，3表示买3个扣子，一共是3个5角，要求3个5角是多少应该用乘法计算）

教师要求：

（1）在规定的时间里，根据个人的不同情况，能完成几道题就完成几道题．

（2）如果在规定时间里，完成了所有的题目后，可以思考以下问题：

这几道题有什么共同的特点？（都是用乘法解答的；这几道题都是求几个几是多少．）

这几道题还可以用什么方法解答？

如果每一道题都能用两种方法解答，你更喜欢哪一种方法，为什么？

归纳质疑

师：通过这节课的学习，大家有什么收获？

1、乘法算式可以用乘法口诀来迅速的计算．

2、求几个几用乘法计算．

3、求几个几还可以用加法来计算，但是用乘法计算起来比用加法计算更简便．

4、我们已经学习了“求几个几” 的文字叙述题和应用题．其实把文字叙述题加上不同的事情就是不同的应用题．