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《有理数》教学设计

2026/03/09教案

此篇文章《有理数》教学设计(精选6篇),由智远网整理,希望能够帮助得到大家。

《有理数》教学设计 篇1

《有理数》教学设计

作为一位不辞辛劳的人民教师,通常会被要求编写教学设计,教学设计以计划和布局安排的形式,对怎样才能达到教学目标进行创造性的决策,以解决怎样教的问题。那么应当如何写教学设计呢?以下是小编为大家收集的《有理数》教学设计,欢迎大家分享。

《有理数》教学设计 篇2

一、 教学目标

1、 知识与技能目标

掌握有理数乘法法则,能利用乘法法则正确进行有理数乘法运算。

2、 能力与过程目标

经历探索、归纳有理数乘法法则的过程,发展学生观察、归纳、猜测、验证等能力。

3、 情感与态度目标

通过学生自己探索出法则,让学生获得成功的喜悦。

二、 教学重点、难点

重点:运用有理数乘法法则正确进行计算。

难点:有理数乘法法则的探索过程,符号法则及对法则的理解。

三、 教学过程

1、 创设问题情景,激发学生的求知欲望,导入新课。

教师:由于长期干旱,水库放水抗旱。每天放水2米,已经放了3天,现在水深20米,问放水抗旱前水库水深多少米?

学生:26米。

教师:能写出算式吗?学生:……

教师:这涉及有理数乘法运算法则,正是我们今天需要讨论的问题

2、 小组探索、归纳法则

(1)教师出示以下问题,学生以组为单位探索。

以原点为起点,规定向东的方向为正方向,向西的方向为负方向。

① 2 ×3

2看作向东运动2米,×3看作向原方向运动3次。

结果:向 运动 米

2 ×3=

② -2 ×3

-2看作向西运动2米,×3看作向原方向运动3次。

结果:向 运动 米

-2 ×3=

③ 2 ×(-3)

2看作向东运动2米,×(-3)看作向反方向运动3次。

结果:向 运动 米

2 ×(-3)=

④ (-2) ×(-3)

-2看作向西运动2米,×(-3)看作向反方向运动3次。

结果:向 运动 米

(-2) ×(-3)=

(2)学生归纳法则

①符号:在上述4个式子中,我们只看符号,有什么规律?

(+)×(+)=( ) 同号得

(-)×(+)=( ) 异号得

(+)×(-)=( ) 异号得

(-)×(-)=( ) 同号得

②积的'绝对值等于 。

③任何数与零相乘,积仍为 。

(3)师生共同用文字叙述有理数乘法法则。

3、 运用法则计算,巩固法则。

(1)教师按课本P75 例1板书,要求学生述说每一步理由。

(2)引导学生观察、分析例子中两因数的关系,得出两个有理数互为倒数,它们的积为 。

(3)学生做练习,教师评析。

(4)教师引导学生做例题,让学生说出每步法则,使之进一步熟悉法则,同时让学生总结出多因数相乘的符号法则。

《有理数》教学设计 篇3

教学目标:

1.使学生理解有理数加法的意义,掌握有理数加法法则,能准确地进行有理数的加法运算.

2.通过有理数加法的教学,体现化归的意识、数形结合和分类的思想方法,培养学生观察、比较和概括的思维能力.

3.在传授知识、培养能力的同时,注意培养学生勇于探索的精神.教学重点:有理数的加法法则,能准确地进行有理数的加法运算.教学难点:异号两数相加的法则.

教学程序设计:

一.类比联想提出问题

通过引导学生回忆小学算术运算的学习过程,类比联想到在认识了有理数之后,必然要首先学习有理数的加法.

又通过提问,复习具有相反意义的量和用负数表示的量的实际意义,并通过实际问题,提出质疑导入新课.

具体问题是:在下列问题中用负数表示量的实际意义是什么?

(1)某人第一次前进了5米,接着按同一方向又向前进了3米;

(2)某地气温第一天上升了3°C,第二天上升了-1°C;

(3)某汽车先向东走4千米,再向东走-2千米。紧接着,回答:

(1)某人两次一共前进了多少米?

(2)某地气温两天一共上升了多少度?

(3)某汽车两次一共向东走了多少千米?

组织学生展开讨论,在此基础上指出:这三个问题都是求物体两次向同一方向运动的和的问题,同小学一样,可以用加法来做。但是,这些数中出现了负有理数,怎样进行有理数的加法运算呢?引出课题.

在刚才的教学中,通过复习,加强了铺垫,刻意去引导学生回忆和复习前面学过的有关知识和方法,在旧知识的复习中找到新知识的生长点。这样,既了解了学生的认知基础,带领学生做好学习新课的知识准备,又使学生认识到本课学习的重要性,引起学生的注意,激发他们的求知个欲望,让每个学生都进行积极的思维参与.

二.直观演示归纳法则

用6个实例讲两个有理数相加的问题:

(1)向东走5米,再向东走3米,两次一共向东走了多少米?

(2)向西走5米,再向西走3米,两次一共向东走了多少米?

(3)向东走5米,再向西走5米,两次一共向东走了多少米?

(4)向东走5米,再向西走3米,两次一共向东走了多少米?

(5)向东走3米,再向西走5米,两次一共向东走了多少米?

(6)向西走5米,再向东走0米,两次一共向东走了多少米?

点拨:“一共”的含义是什么?通过小学的学习知道,就是两个数相加.

探究:若设向东为正,向西为负,你能写出算式吗?

(1)(+5)+(+3)=+8;(2)(-5)+(-3)=-8;

(3)(+5)+(-5)=0;(4)(+5)+(-3)=+2;

(5)(+3)+(-5)=-2;(6)(-5)+(+0)=-5;

以上六个问题的设置运用了数学中分类的思想方法,因为两数相加,按符号异同划分为三大类。即:

这样自然就把问题归结为三种情况:问题(1)和(2)是同号两数相加的情况;

问题(3)、(4)、(5)是异号两数相加的情况;

问题(6)有是有一个加数为零的情况.

这6个问题,都借助于数轴,先规定了向东为正,向西为负,通过电教手段具体演示验证两次运动的结果,由在数轴上表示结果的点所处的方向,确定和的符号,由表示结果的点与原点的距离,确定和的绝对值。引导学生认真观察,积极思考,通过分类、观察,最后师生共同归纳总结出有理数的加法法则.

有理数的加法法则:

一般步骤为:

(1)根据有理数的加法法则确定和的符号;

(2)根据有理数的加法法则进行绝对值的加减运算.

前面已经分析过,异号两数相加的法则是学生学习的难点。因此,我抓住突破难点的关键,一是借助于数轴的直观演示,引导学生认真观察、积极思考,自己归纳法则;二是引导学生分析法则特点,总结规律,在此基础上加以记忆,从而使难点化解,并在化解难点的过程中培养学生的思维能力.

总结出法则之后,可进一步提问:在算术里,两个不都是零的数相加,和一定大于加数,那么,对于两个有理数,相加后和还一定大于加数吗?

提出问题后,让学生去思考、去分析,最终要让学生明白:在有理数运算中,算术中的某些结论不一定再成立,即对于两个有理数,相加的和不一定大于加数,这是有理数的加法与算术运算的一个很大的区别.

三.应用迁移巩固提高

为了解决从掌握知识到运用知识的转化,使知识教学和智能培养结合起来,设计了例题和练习题,选题遵循由浅入深,循序渐进的原则.

类型:同号、异号、0与一个数相加的三种情况的有理数相加

例1:计算下列各题:

(1)(+7)+(+4)

(2)(-3)+(-9)11

(3)4+(-4)

(4)()+(-))23

(5)(-10.5)+(+1.5)

(6)(+5)+0

(7)(-7)+0

(8)0+(-8)

分析:先确定符号,在进行绝对值加减运算.

解:(2)(-3)+(-9) (两个加数同号,用加法法则的'第1条计算) =-(3+9) (和取负号,把绝对值相加)

=-12.

通过此例,训练学生对法则的理解和直接应用,进行有理数加法,先要判断两个加数是同号还是异号,有一个加数是否为零;再根据两个加数符号的具体情况,选用某一条加法法则.进行计算时,通常应该先确定“和”的符号,再计算“和”的绝对值.

变式题1:填空(口答,并说明理由)

(1)(-4)+(-7)=____()(2)(+4)+(-7)=_____()

(3)7+(-4)=_____()(4)4+(-4)=_____()

(5)9+(-2)=_____()(6)(-9)+2 =_____()

(7)(-9)+0 =_____()(8)0+(-3)=_____()

变式题2:今年,我国南方部分地区发生了严重的洪涝灾害。某地水库的水位在某天当中每一次上升了a厘米,第二次上升了b厘米,问:

(1)两次一共上升了多少厘米?

(2)计算当a、b为下列各数时的值:

① a= 4 , b=3 ② a= -3 , b= 7 ③ a= 5 ,b= -5 ④ a= 4, b= -1 ⑤ a = 3 , b=0

(3)说出以上运算结果的实际意义

四. 总结反思拓展升华

为了使学生对所学知识有一个完整而深刻的印象,利用提问形式,从以下三方面小结。学生先回答,进而教师归纳总结,体现学生为主体,教师为主导的教学思想.

(1)本节所学习的主要内容有哪些?

(2)有理数的加法法则在应用时应注意的哪些问题?(确定“和”的符号,计算“和”的绝对值两件事)

(3)本节课涉及的数学思想方法主要有哪些?五.作业课本第19页练习2、3题.

补充:

1.计算:

(1)(-10)+(+6);

(2)(+12)+(-4);

(3)(-5)+(-7);

(4)(+6)+(+9);

(5)67+(-73);

(6)(-84)+(-59);

(7)33+48;

(8)(-56)+37.

2.计算:

(1)(-0.9)+(-2.7);

(2)3.8+(-8.4);

(3)(-0.5)+3;

(4)3.29+1.78;

(5)7+(-3.04);

(6)(-2.9)+(-0.31);

(7)(-9.18)+6.18;

(8)4.23+(-6.77);

(9)(-0.78)+0.

《有理数》教学设计 篇4

【教材分析】《有理数的乘方》是人教版七年级上第一章第五节内容,是有理数的一种基本运算,从教材编排结构上,此节内容共3课时,本课为第一课时,是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算后学习的,是有理数乘法的推广和延续,也是后续学习有理数的混合运算、科学计数法和开方及指数幂运算的基础,起到承前启后的作用。通过本节课学习可以让学生发现规律,培养学生的归纳能力,感受化归及分类的数学思想。

【教学目标】

1.通过现实背景知道乘方运算与乘法运算的关系,理解有理数乘方的意义;知道底数、指数和幂的'概念,会求有理数的正整数指数幂。

2.培养学生观察、归纳能力;培养学生互相讨论、合作交流的能力;培养学生思考问题、解决问题的能力,切实提高学生的运算能力,培养学生勤思,认真和勇于探索的精神。

3.感悟数学来源于生活,从而热爱生活;感悟数学符号的简洁美;积极参加数学学习活动,增强自主学习、合作学习意识与习惯。

【教学重点】正确理解乘方的意义,能利用乘方的运算法则进行有理数 的乘方运算。

【教学难点】

1、建立底数、指数、和幂三个概念,并会进行有理数的乘方运算。

2、有理数乘方运算的符号法则。

【教具准备】教具准备:多媒体课件一套。

学具准备:每个学生一张纸。

【教法分析】基于本节课内容的特点和初一学生的年龄特征,我以“探究式”体验教学法为主进行教学。让学生在开放的情境中,在教师的引导启发下、同学的合作帮助下,通过探究发现,合作交流经历数学知识的形成和应用过程,加深对数学知识的理解。教师着眼于引导,学生着眼于探索,学生的探索发现贯穿始中,整个过程侧重于学生能力的提高、思维的训练,情感的成功体验。同时考虑到学生的个体差异,在教学的各个环节中进行分层施教

【学法分析】从自己已有的知识经验出发,自主参与整堂课的知识构建。在各个环节中进行观察、猜想、类比、分析、归纳,以动手实践、自主探索为主,学会合作交流,在师生互动、生生互动中充分调动学习的积极性和主动性,使自己由“学会”变“会学”和“乐学”。

【学情分析】学生在小学六年级已学习了一个数的平方、立方运算。前面又学习了有理数的乘除法运算,现在所学的有理数乘方,只是在小学所学正数范围扩充到有理数的范围。所以学生在教学活动中能大胆说出自己的体会。在动手,思考和合作交流的过程中,能主动探索,敢干实践,勇于发现。学生间的相互提问的互动的气氛较浓,有良好的学习氛围。

【教学过程】

一、创设情境

问题1、请哪一位吃过兰州拉面的同学说一说拉面的制作过程?(结合学生口述过程)多媒体展示

制作过程如下图(多媒体展示)

教师设法引导学生将生活问题用数学的眼光来观察解决。

引导:

1、这样经过几扣可拉出64根?128根?

2、能否用算式表示这种关系?

这就是我们今天要研究的课题

《有理数》教学设计 篇5

一.教材分析

“有理数的加法”是北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算的第四节内容,本节内容安排三个课时,本课时是本节内容的第一课时,本课设计主要是通过知识竞赛中得分的实例来明确有理数加法的意义,引入有理数加法的法则,为今后学习“有理数的减法”做铺垫。“有理数加法”的教学,可以有多种不同的设计方案.大体上可以分为两类:一类是较快地由教师给出法则,用较多的时间(20分钟以上)组织学生练习,以求熟练地掌握法则;另一类是适当加强法则的形成过程,从而在此过程中着力培养学生的观察、比较、归纳能力,相应地适当压缩应用法则的练习,如本教学设计.注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则的过程,主动获取知识.这样,学生在这节课上不仅学懂了法则,而且能感知到研究数学问题的一些基本方法.所以根据这个情况本节课的设计就采取了第二种方案。

二.学情分析

学生刚升入初中不久,对于新的教学方法还不太熟悉,在新时期下,学习过程更注重对于学生能力的培养,而不是单纯的强调学生掌握一些定式的法则,学习知识是为了解决实际问题,而学生又缺少分析问题的能力,所以小组讨论就是学生锻炼能力的重要方式,但小组讨论往往不知道从何说起,这就需要老师给学生设定合适的话题,让学生有的放矢,而学生在课前已经进行了教材的阅读,对于教材内容没有新鲜感,所以这时我从问题入手,举出一个看似搞笑的结果,让学生产生兴趣,积极参与,培养学生归纳及自主探索和合作交流能力。

三.教学目标

1.知识与技能

(1)通过知识竞赛中小组得分的计算,经历探索有理数加法法则和运算律的过程,体会分类和归纳的思想方法,使学生掌握有理数加法法则,并能运用法则进行计算。

(2)理解有理数的加法法则和运算律,在有理数加法法则的教学过程中,注意培养学生的运算能力。

(3)能熟练进行整数加法运算,并能用运算律简化运算。

2.过程与方法

通过观察,比较,归纳等得出有理数加法法则,能运用有理数加法法则解决实际问题。

3.情感与态度

认识到通过师生合作交流,学生主动叁与探索获得数学知识,从而提高学生学习数学的积极性。

4.重点与难点

会用有理数加法法则进行运算.异号两数相加的法则.类比小学阶段学习的加法,比较其中的差别,注重不同点的.教学,即异号两数相加时的绝对值相减的问题。

四.教学过程

(一)创设问题情境首先设置一个大家都感兴趣的话题:某次数学竞赛,有三种参赛队,比赛规则规定,每答对一题得4分,答错一题扣4分,不答不得分也不扣分。最后得了冠军的队一道题都没答,而第二名还答对了三道题,这是一个什么样的情况?请设计一个具体情况,使这种情况合理符合题意。

问题出来之后请学生小组讨论分析,每个组的答案可能不一致,比如说第二名可以是答对三题但答错了五道题,那么得分就是-8分,而第三名可以是答错了一题,一个也没答对。然后由学生给出计算过程,即(+12)+(-20)=-8分,也可以有其它举例。

(二)师生共同探究有理数加法法则

之前我们已经学习了有理数的一些知识,比如绝对值等,以上面的问题为例,来不分析不同情况下的得分情况:

(1)答错3题时:

(-4)+(-4)+(-4)=-12分

(2)答对5题时:4+4+4+4+4=20分

(3)答对3题,答错5题时,答对的3题与答错的3题抵消为0,剩下的两个答错题得分为-8,即12+(-20)=-8由学生讨论其它情形的得分情况及计算方法。总结:先确定得分是正还是负的,再考虑绝续值。法则得出:加法法则:

1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0;

3.一个数同0相加,仍得这个数。

(三)应用法则解决问题

例1(教科书的例1)

解:(1)(-10)+(-1)(两个加数同号,用加法法则的第2条计算)=-(10+1)(和取负号,把绝对值相加)=-11(2)180+(-10)(两个加数异号,用加法法则的第2条计算)=+(180-10)(和取正号,把大的绝对值减去小的绝对值)=+170(3)5+(-5)

=0(互为相反数的两个数相加得0)(4)0+(-2)

=-2(一个数同0相加,仍得这个数)

例1.计算下列算式,先判断正负说理由,再计算绝对值。(1)(+4)+(+3);(2)(-4)+(-3);(3)(+4)+(-3);(4)(+3)+(-4);

(5)(+4)+(-4);(6)(-3)+0;(7)0+(+2);总结:给以上各题分类,即同号还是异号,再选择法则的相应内容去解决问题。

强调异号两数相加时符号的确定及绝对值的确定。

(四)小结

1.本节课你学到了什么?

2.本节课你有什么感受?(由学生自己小结)

(五)练习设计

1、基础练习:

教材36页知识技能1.计算

(1)(-8)+(-9);(2)(-17)+21;(3)(-12)+25(4)45+(-23);

(5)-45+23;(6)(-29)+(-31);(7)(-39)+(-45);(8)(-28)+37;(9)(-13)+0通过计算学生总结法则哪部分的应用最易出错,从而提示学生注重异号两数相加时符号的确定及绝对值的确定。教材第2、3题自己完成

数学理解中设计-4+3的情境,是为了锻炼学生解决实际问题的能力。可以有多种,比如气温的变化,得分的变化,水位的变化等。

2、提升练习

1.用“>”或“<”号填空:

(1)如果a>0,b>0,那么a+b ______0;(2)如果a<0,b<0,那么a+b ______0;

(3)如果a>0,b<0,|a|>|b|,那么a+b ______0;(4)如果a<0,b>0,|a|>|b|,那么a+b ______0

2.已知如图:

那么a+b ______0;

a

0

b

五、教学反思:

本节教案设计注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则的过程,紧跟教学改革的脚步,把培养学生能力做为主要内容,同时注重合做交流,小组讨论,学习的过程是培养学生能力的过程,同进也兼顾数学学习的基础,计算能力的培养,让学生掌握加法法则,类比有理数范围的加法和小学阶段的加法的区别,并能用法则进行计算。

《有理数》教学设计 篇6

一.授课内容

“有理数的加法”是人教版七年级数学上册第一章有理数的第三节内容,本节内容安排四个课时,本课时是本节内容的第一课时,本课设计主要是通过球赛中净胜球数的实例来明确有理数加法的意义,引入有理数加法的法则,为今后学习“有理数的减法”做铺垫。

二、.教学目标

1.知识与技能

(1)通过足球赛中的净胜球数,使学生掌握有理数加法法则,并能运用法则进行计算;

(2)在有理数加法法则的教学过程中,注意培养学生的运算能力.

2.数学思考

通过观察,比较,归纳等得出有理数加法法则。

3.解决问题

能运用有理数加法法则解决实际问题。

4.情感与态度

认识到通过师生合作交流,学生主动叁与探索获得数学知识,从而提高学生学习数学的积极性。

5.重点

会用有理数加法法则进行运算.

6.难点

异号两数相加的法则.

三.教学对象分析

学生都来自农村,学生的基础及学习习惯是比较差。学生对新的课堂教学方法不是很适应;不过,在新的教学理念的指导下,旧的教学方法和学习方法逐步淡化,而是培养学生的'观察,比较,归纳及自主探索和合作交流能力。现在,班级中已初步形成合作交流和勇于探究的良好学风,学生间互相评价和师生互动的课堂气氛已逐步形成。

四.教学过程

(一)问题与情境

我们已经熟悉正数的运算,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围。例如,足球循环赛中,通常把进球数记为正数,失球数记为负数,它们的和叫作净胜球数。章前言中,红队进4个球,失2个球;蓝队进1个球,失1个球。于是红队的净胜球为

4+(-2),黄队的净胜球为

1+(-1)。

这里用到正数与负数的加法。

(二)、师生共同探究有理数加法法则

前面我们学习了有关有理数的一些基础知识,从今天起开始学习有理数的运算.这节课我们来研究两个有理数的加法.

两个有理数相加,有多少种不同的情形?

为此,我们来看一个大家熟悉的实际问题:

足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量.若我们规定赢球为“正”,输球为“负”,打平为“0”.比如,赢3球记为+3,输1球记为-1.学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形:

(1)上半场赢了3球,下半场赢了1球,那么全场共赢了4球.也就是

(+3)+(+1)=+4.

(2)上半场输了2球,下半场输了1球,那么全场共输了3球.也就是

(-2)+(-1)=-3.

现在,请同学们说出其他可能的情形.

答:上半场赢了3球,下半场输了2球,全场赢了1球,也就是(+3)+(-2)=+1;

上半场输了3球,下半场赢了2球,全场输了1球,也就是

(-3)+(+2)=-1;

上半场赢了3球下半场不输不赢,全场仍赢3球,也就是

(+3)+0=+3;

上半场输了2球,下半场两队都没有进球,全场仍输2球,也就是

(-2)+0=-2;

上半场打平,下半场也打平,全场仍是平局,也就是

0+0=0.

上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形,并根据它们的具体意义得出了它们相加的和.但是,要计算两个有理数相加所得的和,我们总不能一直用这种方法.现在请同学们仔细观察比较这7个算式,你能从中发现有理数加法的运算法则吗?也就是结果的符号怎么定?绝对值怎么算?

这里,先让学生思考,师生交流,再由学生自己归纳出有理数加法法则:

1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0;

3.一个数同0相加,仍得这个数.

(三)、应用举例变式练习

例1口答下列算式的结果

(1)(+4)+(+3);

(2)(-4)+(-3);

(3)(+4)+(-3);

(4)(+3)+(-4);

(5)(+4)+(-4);

(6)(-3)+0;

(7)0+(+2);

(8)0+0.

学生逐题口答后,师生共同得出

进行有理数加法,先要判断两个加数是同号还是异号,有一个加数是否为零;再根据两个加数符号的具体情况,选用某一条加法法则.进行计算时,通常应该先确定“和”的符号,再计算“和”的绝对值.

例2(教科书的例1)解:(1)(-3)+(-9)(两个加数同号,用加法法则的第2条计算)

=-(3+9)(和取负号,把绝对值相加)

=-12.(2)(-)+(两个加数异号,用加法法则的第2条计算)

=-()(和取负号,把大的绝对值减去小的绝对值)

=-

例3(教科书的例2)教师在算出红队的净胜球数后,学生自己算黄队和蓝队的净胜球数

下面请同学们计算下列各题以及教科书第23页练习第1与第2题

(1)(-)+(+);(2)(+)+(-3);(3)(-)+(-);

学生书面练习,四位学生板演,教师巡视指导,学生交流,师生评价。

(四)、小结

1.本节课你学到了什么?

2.本节课你有什么感受?(由学生自己小结)

(五)课后作业

1.计算:

(1)(-10)+(+6);

(2)(+12)+(-4);

(3)(-5)+(-7);

(4)(+6)+(+9);

(5)67+(-73);

(6)(-84)+(-59);(7)33+48;

(8)(-56)+37.

2.计算:

(1)(-)+(-);

(2)+(-);

(3)(-)+3;(4)+;

(5)7+(-);

(6)(-)+(-);

(7)(-)+;

(8)+(-);

(9)(-)+0.

4.用“>”或“<”号填空:

(1)如果a>0,b>0,那么a+b ______0;

(2)如果a<0,b<0,那么a+b ______0;

(3)如果a>0,b<0,|a|>|b|,那么a+b ______0;

(4)如果a<0,b>0,|a|>|b|,那么a+b ______0.